Pehkonen (ред.) — Use of Open-Ended Problems in Mathematics Classroom (1997)

21 окт. 2026 г. · время чтения ~13 мин.

Вид: сборник докладов (Research Report 176, University of Helsinki, Department of Teacher Education; отчёт ERIC ED 419 714)

Коротко

Вопрос: что такое открытые задачи (open-ended problems) в школьной математике, как их используют на уроках и какие трудности возникают?
Ответ: Сборник под редакцией Pehkonen: открытой считается задача, у которой начальная или целевая ситуация заданы не до конца; главы описывают использование таких задач на уроках и их результаты, а критические главы показывают, что стандартное оценивание превращает открытые задания в шаблон и сужает их открытость.

Тезисы

Pehkonen отличает открытые задачи от закрытых, которые преобладают в школьной математике.

Т1. Задача закрыта, если начало и цель заданы точно; если они открыты, получается открытая задача

Против: школьные закрытые задачи, не оставляющие места для творчества
Аргумент: Pehkonen определяет открытую задачу через её противоположность. Если начальная ситуация или цель, или обе, заданы не до конца, задача открытая. Открытые задачи он делит на три типа по сочетанию открытости начала и цели; среди них — открытые задачи в узком смысле (open-ended problems). Понятие «открытая задача» (open problem) он предлагает как общий («зонтичный») класс.
Цитата: «If the starting situation and/or the goal situation are open, i.e. they are not closed, we have an open problem (Fig. 1).»
Цитата: «Problems dealt with in school mathematics are usually closed problems (or more generally closed tasks) which will not leave much room for creative thinking.»
Цитата: «According to this definition, we have three types of open problems where one is the open-ended problems.»
Цитата: «In my conclusion, I suggested the use of the concept “open problem” as an “umbrella” class of problems which contains all the problem classes mentioned.»

Т2. Под открытыми задачами собраны разные виды; открытый подход возник в Японии в 1970-е годы

Против: нет
Аргумент: на обсуждении в PME назвали исследования, постановку задач, жизненные ситуации, проекты, поля задач, задачи без вопроса и вариации «а что, если». Метод открытых задач для обсуждения математики в классе развился в Японии. Примерно тогда же в Англии стали популярны исследовательские задания (investigations).
Цитата: «Under the discussion, several types of problems were put forward: investigations, problem posing, real-life situations, projects, problem fields (or problem sequences), problems without question, and problem variations (“what-if”-method).»
Цитата: «The method of using open-ended problems in classroom for promoting mathematical discussion, the so-called “open-approach” method, was developed in Japan in the 1970’s (Shimada 1977).»
Цитата: «About at the same time in England, the use of investigations, a kind of open-ended problems, became popular in mathematics teaching (Wiliam 1994), and the idea was spread more by Cockcroft-report (1982).»

Т3. В Великобритании оценивание увеличило число исследовательских заданий, но изменило их природу

Против: ожидание, что включение исследований в экзамен само укрепит открытый подход
Аргумент: Blanc, сам сторонник исследовательского подхода, прослеживает, как в Великобритании подход попал в экзамены и учебные материалы. Экзамен должен быть стандартизован, и внимание сместилось на письменный отчёт, а обсуждение, о котором говорил отчёт Cockcroft, потеряло значение. Среди последствий Blanc называет жёстко структурированные задания и упор на письменный результат в ущерб обсуждению.
Цитата: «Whilst assessment has increased the occurrence of investigative work, the nature of such work has been dramatically influenced by standardised assessment.»
Цитата: «In particular, since the GCSE had to be examinable and standardised the focus has been on the written script of the investigation, thus taking away much of the value of discussion emphasised in Cockcroft.»

Т4. Студенты (будущие учителя), не следовавшие заученным шагам, были, по Blanc, по-видимому, вовлечены в задачу сильнее

Против: рецепты «как исследовать», навязанные учебными материалами
Аргумент: Blanc и Sutherland обсуждают анализ письменных решений будущих учителей начальной школы задачи о диагоналях многоугольника и проверяют выводы интервью. Шаблонные приёмы работы они связывают с меньшей вовлечённостью в саму задачу.
Цитата: «Those students who did not adopt these routines were apparently more engaged and more successful in the problem itself.»
Данные: из пятерых студентов, изученных подробно, таблицей негибко пользовались трое.
Цитата: «Tabular representations were used in an inflexible way by 3 of the 5 students studied in depth.»

Т5. Открытость постановки задач зависит от того, что в задаче не определено

Против: нет
Аргумент: Leung опирается на классификацию Reitman, по которой задача хорошо структурирована, если заданы и исходные данные, и цель; остальные случаи она называет плохо структурированными (ill-structured) и связывает с постановкой задач. Постановщик определяет исходное, цель или оба. Но задачи ставят и по хорошо структурированным ситуациям. Термин «плохо структурированная» относится здесь к классификации Reitman, а не к определению открытых задач у Pehkonen.
Цитата: «A problem is well-structured if the objects, operators and goals are well defined (Reitman, 1965).»
Цитата: «Ill-structured problems open up opportunities for problem posing; the problem “poser” has to define the given, the goal or both.»
Цитата: «Finally, problem posing is also possible, even in well structured problem situations.»

Т6. Модель Polya становится циклом «поставь задачу – реши – поставь новую»

Против: нет
Аргумент: Leung добавляет к модели решения Polya (понять, спланировать, выполнить, оглянуться) возможность самому ставить задачу. Если задача не дана, первый этап — её формулировка, а этап «оглянуться» выражается оценкой решения и постановкой новых задач. Такая деятельность, по Leung, открыта в математическом содержании и во взаимодействии ученика с математикой.
Цитата: «Polya’s problem solving model will become a cycle for problem posing and problem solving.»
Цитата: «In the first phase, “Understand the problem” can be replaced by “Pose a problem”.»
Цитата: «This learner’s problem posing and solving activity is open in both mathematics contents and in learners’ interaction with mathematics (Nohda, 1987).»

Т7. В австралийской экзаменационной системе обязательные тесты сужали открытость задач

Против: ожидание, что открытые задачи можно сохранить в общественно значимом экзамене
Аргумент: McCrae и Stacey рассматривают, переживёт ли настоящее решение задач давление экзамена в штате Виктория. Среди причин потери открытости они называют давление учителей и учеников. Почти половина ответивших учителей согласилась, что закрытый формат снижает пригодность задания как меры решения задач.
Цитата: «In the late eighties, the mathematics subjects taught to students in the last two years of school in Victoria, a state of Australia, were substantially redesigned and a new credential, the VCE (Victorian Certificate of Education), replaced the former Higher…»
Цитата: «The introduction of the test requirement into the assessment of problem solving has had a constraining effect on the openness of the problems.»
Цитата: «It was noted there how pressures from teachers and students had lead to a reduction in the openness of the project.»
Данные: доля учителей, считавших закрытый формат снижающим пригодность задания.
Цитата: «In fact, 48.7% of the respondents agreed that the closed problem format reduced its validity as a measure of problem solving ability, with 30.8% disagreeing and 20.5% undecided.»

Т8. Официальное внедрение исследовательских заданий, как пишет Morgan, исказило их природу

Против: нет
Аргумент: Morgan прослеживает путь исследовательских заданий (investigations) в учебные планы Англии и Уэльса и указывает на спор о том, чем они являются. Часть авторов, пишет она, считает, что официальное одобрение исказило деятельность. Она называет жанр «данные – закономерность – обобщение» (DPG), в котором многие критерии проверяются проще всего.
Цитата: «Indeed, some would argue that the official endorsement and consequent institutionalisation of investigation by government reports and curriculum and assessment bodies has distorted the nature of the activity to the extent that it no longer addresses the ideals that gave…»
Цитата: «While the grade descriptions for GCSE coursework are not intended to be either exclusive or restrictive, it is clear that a substantial number of them may most easily be applied to work within a particular genre that has been labelled…»

Т9. Идеалы открытости и творчества плохо сочетаются с требованиями стандартизованного экзамена

Против: нет
Аргумент: Morgan видит между идеалами открытости и требованиями экзаменов к стандартизации и надёжности напряжение и противоречия. Реформам, по её предположению, скорее поможет повышение математической компетентности и профессиональной самостоятельности учителей, чем навязывание официальных требований.
Цитата: «There are especially strong tensions and contradictions between curriculum objectives that incorporate ideals of openness, creativity and student empowerment and the requirements of high-stakes examinations for standardisation and reliability.»
Цитата: «It seems likely that efforts to increase teachers’ mathematical proficiency and professional autonomy and the amounts of time and energy they have available to reflect on and experiment with their own and their colleagues’ practices may be a more effective…»

Т10. Nohda и Emori предлагают, чтобы через открытые задачи ученики сначала действовали самостоятельно, а затем в общении уточняли образцы решения

Против: нет
Аргумент: Nohda и Emori рассматривают урок, на котором ученики сами придумывают задачи по ситуации. Их цель — общий и развивающийся математический смысл, а ключевые понятия — деятельность, общение и согласование. Они предлагают сначала дать ученикам решать самим, а потом через общение уточнять образцы решения.
Цитата: «The educational goal we are concerned with here is that of sharing and developing mathematical meaning.»
Цитата: «We suggest here that students need to act initially by themselves to solve the problem and then, through communication establish adequate patterns in the modification of their initial acts.»

Т11. Из любой задачи можно получить поле задач, меняя её условия

Против: нет
Аргумент: Pehkonen называет набор связанных между собой задач полем задач (problem field). Его примеры предназначены для разнородных классов.
Цитата: «Such a set of connected problems will be called a problem field.»
Цитата: «From any problem one can generate a problem field through changing those conditions given in the task (see Pehkonen 1986, 1992).»
Цитата: «In each problem field, the difficulty of the problems ranges from very simple ones that can be solved by the whole class, to harder problems which only the more advanced students might be able to solve.»

Т12. Стратегия What-if-not, по Brown и Walter, строится на вызове «данному», но её толкуют по-разному

Против: нет
Аргумент: Seo описывает стратегию, в которой важнее поставить вопрос, чем ответить на него. Brown и Walter предлагают две фазы постановки задач: принять данное и оспорить его, а оспаривание они называют «What-If-Not?». Seo разбирает разные трактовки уровней стратегии у разных исследователей и предлагает считать целями стратегии перечисленные Brown и Walter виды деятельности: новую идею, образ для старой идеи, оценку значимости изученной идеи, новые связи.
Цитата: «Brown & Walter(1990) very much emphasize on to ask a question or to pose a problem rather than to answer a question.»
Цитата: «Particularly, they argue that it is challenging the given which frequently opens up new vistas in the way we think.»
Цитата: «However, What-If-Not strategy has meant many things to many researchers.»
Цитата: «I propose that the just described activities are really the aims of What-IfNot strategy proposed by Brown and Walter.»

Т13. Программа уроков, построенная по возможности на открытых вопросах, сдвинула вопросы и задания учителя к открытым

Против: обычный урок, где значительную часть событий занимают закрытые вопросы на воспроизведение
Аргумент: Sullivan, Bourke и Scott описывают программу для шестого класса по длине, периметру и площади. Наблюдатели закодировали вопросы и задания по открытости и по типу мысли. Ученики при этом чаще работали по одному, чем в группе, хотя класс был расставлен для групповой работы.
Цитата: «This is the report of a teaching program which was based as far as possible on the use of open-ended questions.»
Цитата: «Nearly half of all question were coded as open-ended thinking questions and two thirds of all tasks were coded in that way.»
Данные: доля наблюдений, когда ученики работали самостоятельно.
Цитата: «Nearly 40% of observed events were of the students working by themselves.»
Данные: доля наблюдений работы с партнёром или в группе.
Цитата: «It was anticipated that the category, “working with a partner/group” would be the main activity in which the students would be engaged, yet it comprised only 5% of all recorded observations.»

Т14. После программы вырос результат по закрытым заданиям, но склонность давать несколько ответов не удержалась

Против: нет
Аргумент: Sullivan, Bourke и Scott измеряли результаты до программы, после неё и спустя время. Улучшение по закрытым заданиям сохранилось. По открытым вопросам улучшение тоже было, но привычка давать несколько верных ответов затем ослабла.
Цитата: «One of the measures of the outcomes of the program was from the students responses to two written tests which they completed before the program (pre-test), after the program (post-test), and again three months after the teaching program (delayed post-test).»
Цитата: «Students showed significant improvement on a test of closed items based on the content of the program and the improvement was maintained after the program.»
Цитата: «Students also showed an overall improvement on the open-ended test questions although the tendency to give multiple correct responses was not maintained after the program.»

Т15. Курс метакогнитивных навыков на открытых задачах дал устойчивое улучшение математических результатов

Против: нет
Аргумент: Tanner и Jones проводили курс, нацеленный на планирование, контроль и оценку в контексте открытых задач. По итоговому тесту группы курса превзошли контрольные, и улучшение сохранилось и позже.
Цитата: «The project aimed to accelerate the development of such formal modes of thought by enhancing key metacognitive skills such as planning, monitoring and evaluating in the context of open problems.»
Цитата: «The course targeted metacognitive rather than cognitive skills.»
Данные: общий результат по итоговому тесту.
Цитата: «Covariate analysis of the overall test results using pre-test scores as covariates showed a significant difference in favour of the intervention groups at the 0.1% (0.001) level.»
Данные: устойчивость результата.
Цитата: «A sustained improvement in mathematical performance was observed.»

Пример

Задача о телефонных линиях (глава Nohda и Emori): есть несколько домов, каждые два дома соединены одной телефонной линией. Ученики сами придумывают вопросы по этой ситуации, например, сколько линий нужно для двадцати домов. Один ученик рисует схему для трёх домов, другой дорисовывает линию, третий перекладывает точки в треугольник; затем по схемам ученики выводят сумму или формулу числа линий.

Задача из главы Sullivan, Bourke и Scott: «Мой огород — прямоугольник с периметром 30 метров. Какова может быть его площадь?» У вопроса больше одного верного ответа, и он требует сопоставить периметр и площадь вместо подстановки в формулу.

Критика

Blanc прямо говорит, что авторы не предлагают быстрых способов внедрения исследовательского подхода. Цитата: «Whilst we do not pretend to have quick fix solutions for the task of implementing investigative, open problem-solving, we would wish to stress that the issues raised are not solely attributable to UK specific conditions.»
McCrae и Stacey признают, что остаётся проблема: последовательность закрытых вопросов лишила решающего большей части ответственности за построение математической модели ситуации. Цитата: «Of remaining concern is that the presentation of each problem as a sequence of closed questions has removed from the solver most of the responsibility to mathematise the situation.»
Sullivan и соавторы признают, что по короткой программе трудно судить об изменениях в обучении. Цитата: «Since changes in learning, attitudes, or mathematical understanding generally develop over long periods examination of brief programs is difficult.»
Pehkonen в главе о полях задач сомневается в измерении взглядов учеников анкетой: ответы менялись за три года, но не всегда в одну сторону. Цитата: «Thus, the pupils answers to the statements seem to change in three years much, but not each time in the same direction.»
Tanner и Jones признают, что выборка не была случайной. Цитата: «The sample was not random due to the degree of commitment demanded from the teachers involved and consequent difficulties of self selection.»
Они же признают, что занятия в группах вмешательства не были стандартизованы. Цитата: «The approach carried the disadvantage, however, that the experiences of the intervention classes were not standardised.»

Связи

+Открытая задача — дополняет
+Закрытая задача — противоположно
+Плохо структурированная задача — см. также (Т5: у Leung это классификация Reitman, а не определение открытой задачи)
+Социальный конструктивизм — см. также
@Георг Пойа — опирается на (Т6)

Оригинал

Pehkonen E. (ed.) Use of Open-Ended Problems in Mathematics Classroom. Research Report 176. University of Helsinki, Department of Teacher Education, 1997